1988 藤中

離散時間最適レギュレータの極の配置可能範囲

藤中、杉本、山本、片山徹

計測自動制御学会論文誌、24-12, 1988

The Region of Poles for Discrete-Time LQ Regulators

Toru FUJINAKA, Kenji SUGIMOTO, Yutaka YAMAMOTO and Tohru KATAYAMA,

Transactions of the Society of Instrument and Control Engineers, vol. 24, No. 12, pp. 1253-1259, 1988

In the design of discrete-time optimal regulators the location of the optimal closed-loop poles is determined by the weighting matrices of the performance index. When the controlled object is given in such a way that certain mode is decomposed from the others, it is possible to specify the weighting matrices so that only the specified mode is altered. This paper aims at clarifying the relationship between the weighting matrices and the optimal poles. Assuming the procedure of moving one real or a complex conjugate pair of poles and then confining the discussion to the corresponding eigenspace, the method gives rise to a systematic characterization of optimality after pole-shifting. To this end, the basic property of the associated symplectic matrix, namely the fact that the optimal poles are given as the eigenvalues of the symplectic matrix, is effectively used. The result is applicable to determining the domain where the closed-loop pole can be optimal. This is an extension to the results of Solheim (1974) and Amin (1984).

離散時間最適レギュレータの設計では、閉ループ極の位置は重み行列によって決定される。

制御対象において、特定のモードが他のモードから分離されるように与えられる場合、指定されたモードのみが変更されるように重み付け行列を指定することができます。

この論文は、重み行列と最適極の関係を明らかにすることを目的としています。

１つの実数または複素共役の極のペアを移動し、対応する固有空間に議論を限定する手順を想定すると、この方法は、極シフト後の最適性の体系的な特徴付けをもたらす。

この目的のために、関連するシンプレクティック行列の基本特性、つまり、最適極がシンプレクティック行列の固有値として与えられるという事実が効果的に使用される。

結果は、閉ループ極が最適になることができる領域を決定するために適用でき、これは、Solheim (1974) と Amin (1984) の結果の拡張です。

離散時間最適レギュレータを制御系の設計に用いる場合、評価関数の重みと閉ループ極の位置との対応関係が直接的でないため、極配置を考慮して設計を行うことは容易でない。

そこで、制御対象をモード分解された形で扱い、着目した極のみを逐次指定された位置に移動する方法が Solheim¹”により提案されている。

ただし、この方法では複数の極を移動したときに全休としての最適性が保証されないという離散時間系特有の困難があった。

これは、連続時間最適レギュレータの性質がそのまま離散時間系では成り立たないことを示す一例である。

この問題は、Amin2)により解決されているが、このことからも推測されるように、連続時間系の最適レギュレータの性質は、離散時間系への変換では失われてしまうことが多い。

さて、極の逐次移動により離散時間最適レギュレータの設計を行う場合、指定可能な閉ループ極の範囲が明らかになれば設計に役立つと考えられる。

文献1-2)ではこの範囲が不明であり、指定可能な範囲はきわめて限定されていた。

本論文では着目した一つの実数極あるいは一対の共役複素極のみを移動する場合について、離散時間最適レギュレータとして配置可能な閉ループ極の範囲を求める。

筆者らは、連続時間系に対してもすでに同様の問題を考察しているが3)、離散時間系に対しては、独立した解析が必要である。得られた結果は従来の結果1-2)の大幅な拡張となっている。